“剪刀全等”！从几何原理到现代研究，数学思维的进化之路…

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本文由超模君整合，参考来源：原理、百度百科等

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在我们回顾中学时期的数学知识时，关于计算形状面积的公式可能会在脑海中浮现：矩形是底乘高，三角形是底乘高再除以2，圆形是π乘以半径的平方……听起来似乎很简单直接。

不过，如果我们上的是古希腊的数学课，那么学到的可能就会完全不同。

古希腊数学家欧几里得等人认为面积是几何学的一部分，而非代数学的。他们在经典著作《几何原本》中详细记载了这种几何视角。

这种观念至今仍然影响着数学研究，并为数学家们提供了启发。

现代数学家将欧几里得的“面积相等”概念称为“剪刀全等”。这个概念基于形状的剪切和重新拼贴，引发了许多有趣的数学探索。

它既突显了几何学中的一些经典问题，同时也在抽象的现代数学世界中找到了崭新的生机。

大家或许会觉得这种从剪刀和拼贴开始的方法有些奇怪，但实际上它是数学发展中的一种重要思维方式。

01

我们经常认为一个形状的面积可以通过代数公式或微积分来计算出来。

但是，古希腊时期的数学家们对于面积有着不同的看法，他们将面积视为几何的概念。

想象一下，你手里拿着一把剪刀、一些胶带和一张纸，你被要求通过直线剪切的方式，将这张纸剪成一些碎片，然后可以任意地旋转、翻转碎片，并最后将它们粘在一起，拼成一个全新的形状（大家可以自己实践一下）。

图源：网络

通过使用面积的代数公式，我们可以计算出新形状的面积等于纸的原始面积。

无论你如何剪切这个二维形状，只要最后所有的碎片 都没有重叠地粘在一起，新形状的面积和原来形状的面积总是相等的。

对于欧几里得来说，面积是通过几何上的“剪切和粘黏”来保持不变的度量。换句话说，他认为新形状和原始纸张是“等价的”，而现代数学家则将这种等价关系称为“剪刀全等”。

那么，这个新形状可以是什么样子的呢？由于我们只能进行直线剪切，新形状必定是一个多边形，且没有一条边是弯曲的。

图源 ： 网络

有一个有趣的问题是：我们是否能制作出任意与原始纸张面积相同的多边形呢？

令人惊讶的是，答案是肯定的，甚至还有一本流传至今的19世纪指南，可以一步一步地教我们如何做到这一点。

换句话说，对于多边形而言，古希腊数学家欧几里得的面积概念与现代数学中完全一致。 我们可能 在 不知情的情况下，就已经 在计算中 使用了欧几里得的面积概念。

比如，我们可以用剪刀全等来计算五边形的面积。

通过将五边形剪切成一些小三角形，然后使用“1/2 × 底 × 高”来计算这些三角形的面积，并将它们相加，我们就可以得到最终的答案。

所以说，数学的世界真是奇妙无比。

无论是古希腊的几何学还是现代的代数公式，它们都在努力帮助我们理解形状和面积的概念。

02

在数学领域中，剪刀全等这个概念引起了广泛的讨论和研究。

著名数学家戴维·希尔伯特在一个多世纪前提出了一系列对20世纪数学发展至关重要的问题，其中有一个问题就与剪刀全等有关。

图源 ： 网络

这个问题涉及到三维多面体而不是二维多边形。

具体而言，希尔伯特问的是：对于任意两个等体积的多面体，是否总能将其中一个多面体切割成有限多个多面体，然后重新组合成另一个多面体？

希尔伯特的学生Max Dehn在问题提出的一年内找到了答案，但他给出的答案与二维情况非常不同。

他指出，当多面体被剪切时，体积并不是唯一保持不变的东西。还有另一种保持不变的度量，它由多面体的边的长度和面与面之间的角度构成，现在被称为Dehn不变量。

图源 ： 网络

如果两个 多面体是剪刀全等的，那么它们必须具有相同的Dehn不变量。

因此，如果能找到两个体积相同但Dehn不变量值不同的多面体，就能证明希尔伯特第三个问题的答案是否定的，即剪刀全等无法准确描述三维体积。

而Dehn正是做到了这一点，他证明了一个体积相同的立方体和四面体，却具有不同的不变量。

这意味着无法将一个四面体剪切成有限数量的碎片，然后重新组装成一个体积相同的立方体。

但是，体积和Dehn不变量是否就是我们需要了解的全部呢？

数学家花费了整整60年才回答了这个问题。在1965年，瑞士数学家Jean-Pierre Sydler证实了答案是肯定的，为剪刀全等问题写下了最终的结论。

这段时间的数学发展不断探索新领域，从代数公式到剪刀全等的概念，数学家们不断努力探索更好地理解形状和面积的方法。

无论是欧几里得的几何概念还是Dehn的不变量，都为我们提供了更深入的了解和思考的角度。

03

数学中的故事并没有到此结束。 形状不仅仅存在于三维空间中，还可以扩展到更高维度，如四维、一百维甚至三千四百八十五维。

尽管我们无法直观地想象这些奇特的形状，但一个新兴的研究领域——广义剪刀全等，正试图解决希尔伯特关于剪刀全等问题在这些奇特形状上是否也适用的问题。

但现在剪刀全等的定义变得更加复杂了。

希尔伯特和Dehn关注的是体积和角度等物理特征，而其他数学家则试图将这些物理特征转化为更抽象、无形的概念。

最近，数学家Jonathan Campbell和Inna Zakharevich发起了一个名为广义剪刀全等的研究项目，并提出了一个统一的框架来解决这个问题。

他们使用了一种抽象而看似无关的数学工具包——代数K理论，来理解数学对象如何被分解成基本的组成部分。

通过对K理论的调整和应用，他们将其应用于广义剪刀全等问题，并开辟了未来研究的新方向。

归根结底，剪刀全等是一个具体的概念，并不需要过于复杂的数学知识才能理解。

我们只需要一些耐心、创造力，以及一把剪刀和大量胶带，就可以尝试剪切和重组形状，从中发现数学的乐趣。

无论是在三维空间中还是更高维度中，剪刀全等问题都值得我们探索和思考，让我们一起开启数学的奇妙之旅吧！

参考来源：

百度百科

微信公众号【原理】：《 一种古老的几何视角，仍在推动前沿数学研究 》

超模君 说

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